Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hay $n\gt 1$ lámparas $L_0,L_1,\ldots,L_{n-1}$ alrededor de un círculo, cada una de las cuales puede encontrarse encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están encendidas. En cada paso, podemos realizar la siguiente operación: si $L_{i-1}$ está encendida, cambiar $L_i$ de encendida a apagada o viceversa (aquí entendemos que $L_{n+k}=L_k$ para todo $k$).

1. Probar que hay un entero positivo $M(n)$ tal que después de $M(n)$ pasos consecutivos, todas las lamparas están necesariamente encendidas de nuevo.
2. Demostrar que, si $n=2^k$, entonces podemos tomar $M(n)=n^2-1$.
3. Demostrar que, si $n=2^k+1$, entonces podemos tomar $M(n)=n^2-n+1$.