Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se considera el plano como un tablero de ajedrez infinito en el que las casillas están coloreadas de blanco y negro de forma alternada y los vértices de las casillas son los puntos de coordenadas enteras. Para cada par de enteros positivos $m$ y $n$, consideremos un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos tienen longitudes $m$ y $n$ y están contenidos en los ejes de la cuadrícula.

Sea $S_1$ el área total de la parte negara del triángulo y $S_2$ el área total de la parte blanca. Definimos entonces \[f(m,n)=|S_1-S_2|.\]

1. Calcular $f(m,n)$ para todos los enteros positivos $m$ y $n$ que son ambos pares o ambos impares.
2. Demostrar que $f(m,n)\leq\frac{1}{2}\max\{m,n\}$ para todo $m$ y $n$.
3. Probar que no hay ninguna constante $C$ tal que $f(m,n)\lt C$ para todo $m$ y $n$.