Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Consideremos el polinomio $p(z)=z^3+2z^2+10z-20$. Como el coeficiente en $z^3$ es uno, si $x$ fuera una raíz racional de $p(z)$, tendría que ser entera y, por tanto, un divisor de $20$. Ahora bien, $p(z)\geq p(2)=16\gt 0$ para $z\geq 2$, luego $x\leq 1$. Por otro lado, $p(z)=z(z^2+2)+10z-20$, luego $p(z)\leq-20$ para $z\leq 0$, de donde $x\gt 0$. Tenemos entonces que $0\lt x\leq 1$, de donde la única posibilidad es $x=1$. Como $x=1$ no satisface la ecuación, deducimos que $x$ no es racional.

Para ver si $x^2$ es racional o no, observemos que \begin{eqnarray*} 0=p(x)p(-x)&=&(x^3+2x^2+10x-20)(-x^3+2x^2-10x-20)\\ &=&-x^6-16x^4-180x^2+400, \end{eqnarray*} luego $y=x^2$ es una raíz del polinomio $q(z)=z^3+16z^2+180z-400$. Razonando de forma similar al caso anterior, si $y$ fuese racional, entonces sería entero y divisor de $400$. Además, $q(z)\geq q(2)=640\gt 0$ para $z\geq 2$ y $q(z)=z(z^2+16)+180z-400\leq -400\lt 0$ para $z\leq 0$. Deducimos que $0\lt y\leq 1$, luego $y=1$ pero entonces $x=\pm 1$ sería racional y hemos probado antes que no lo es. Por tanto, $x^2$ no es racional.

Nota. Quizá puede parecer que nos hemos sacado de la manga el producto $p(x)p(-x)$, pero vamos a intentar justificar el porqué. Para cualquier polinomio $p(x)$, el producto $r(x)=p(x)p(-x)$ es otro polinomio en $x$ pero es par ya que $r(x)=r(-x)$. Esto nos dice que $r(x)$ sólo tiene términos de exponente par y es en lo que nos hemos basado en la solución.