Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para cada entero positivo $n$, sea $f(n)$ el número de formas distintas de representar $n$ como suma de potencias de $2$ con exponentes no negativos (representaciones que difieren solamente en el orden de los sumandos se consideran iguales). Por ejemplo, $f(4)=4$ porque el número $4$ se puede representar solo de las siguientes cuatro formas distintas: \[4=2+2=2+1+1=1+1+1+1.\] Demostrar que, para cualquier entero $n\geq 3$, se cumple que \[2^{n^2/4}\lt f(2^n)\lt 2^{n^2/2}.\]