Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Vamos a utilizar la función auxiliar $f(x)=2x-x^2$. Tomando $a=b$ en el enunciado, obtenemos que si $a\in M$, entonces $f(a)\in M$ e, iterando el proceso, $f(f(a))\in M$, $f(f(f(a)))\in M$, etc. En consecuencia, si demostramos que la cadena $\{a,f(a),f(f(a)),\ldots\}$ tiene infinitos términos distintos, entonces $a$ no puede pertenecer a $M$ ya que $M$ es finito.

Con esto en mente, distingamos algunos casos para $a$:

• Si $a\lt 0$, entonces $f(a)=2a-a^2\lt a\lt 0$. Por tanto, si $a\in M$, entonces $a\gt f(a)\gt f(f(a))\gt\ldots$, contradiciendo que $M$ es un conjunto finito.
• Si $a=0$, entonces $f(a)=0$.
• Si $0\lt a\lt 1$, entonces $0\lt f(a)=2a-a^2\lt a$. Por tanto, si $a\in M$, entonces $a\gt f(a)\gt f(f(a))\gt\ldots$, contradiciendo que $M$ es un conjunto finito.
• Si $a=1$, entonces $f(a)=1$.
• Si $1\lt a\lt 2$, entonces $0\lt f(a)=2a-a^2\lt 1$. Si $a\in M$, entonces hemos encontrado el elemento $f(a)$ de $M$ con $0\lt f(a)\lt 1$, luego según lo que hemos probado anteriormente esto lleva a contradicción.
• Si $a=2$, entonces $f(a)=0$.
• Si $2\lt a$, entonces $f(a)\lt 0$ y también llegamos a una contradicción según hemos probado antes.

De todo esto deducimos que los únicos elementos que puede tener $M$ son $\{0,1,2\}$. Como $M$ ha de tener al menos dos elementos distintos $a\lt b$ de entre estos tres, deducimos que $2a- b^2\lt 0$, lo que nos lleva a otra contradicción ya que $M$ no contiene números negativos. En consecuencia, no existen conjuntos $M$ en las condiciones del enunciado.