Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. En primer lugar, haciendo $y=\frac{\lambda}{x}$ en la ecuación funcional, llegamos a que \[f(x)f\left(\frac{\lambda}{x}\right)=1.\] lo que nos dice que $f(x)\neq 0$ para todo $x\in (0,\infty)$. Haciendo ahora $y=x$ en la ecuación funcional, obtenemos que \[f(x)^2=f\left(\frac{\lambda}{x}\right)^2,\] luego, combinando estas dos igualdades, \[f(x)^4=f(x)^2f\left(\frac{\lambda}{x}\right)^2=1\] De aquí deducimos que, para cada $x\in (0,\infty)$, se tiene que $f(x)=1$ ó $f(x)=-1$. Además, la igualdad $f(x)f(\frac{\lambda}{x})=1$ nos dice ahora que $f(x)=f(\frac{\lambda}{x})$ para todo $x\in(0,\infty)$. Usando esto en la ecuación original, no es difícil ver que \[f(xy)=f(x)f(y)\] para cualesquiera $x,y\in (0,\infty)$, es decir, $f$ es multiplicativa. Tomando $y=\frac{\lambda}{x^2}$ en esta última ecuación y usando que $f(x)=f(\frac{\lambda}{x})$, deducimos que $f(\frac{\lambda}{x^2})=1$ para todo $x\in (0,\infty)$, lo que nos dice que $f$ es constante uno. Como cumple la ecuación original, deducimos que $f(x)=1$ es la única solución al problema.