Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1922
IMO, 2007-P1
Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ numeros reales. Para $1\leq i\leq n$, se define
\[d_i=\max\{a_j:1\leq j\leq i\}-\min\{a_j:i\leq j\leq n\}\]
y sea $d=\max\{d_i:1\leq i\leq n\}$.
- Demostrar que para cualesquiera números reales $x_1\leq x_2\leq\ldots\leq x_n$, se cumple que \[\max\{|x_i-a_i|:1\leq i\leq n\}\geq\frac{d}{2}.\]
- Demostrar que hay números reales $x_1\leq x_2\leq\ldots\leq x_n$ para los cuales se alcanza la igualdad en la desigualdad del apartado (a).
Sin pistas
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