Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observemos en primer lugar que \[\frac{a^n+a^{-n}-2}{a+a^{-1}-2}=\frac{(a^n-1)^2}{a^{n-1}(a-1)^2}.\] Por tanto, la desigualdad a probar es equivalente a \[n\lt \frac{a^n-1}{a^{(n-1)/2}(a-1)}=\frac{1}{a^{(n-1)/2}}(1+a+a+\ldots+a^{n-1}),\] donde hemos usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética. No es demasiado fácil darse cuenta de esta forma de escribirlo, pero es necesario reconocer la fracción $(a^n-1)/(a-1)$ en cualquier contexto. Por tanto, tenemos que probar que \[n\lt a^{(1-n)/2}+a^{(3-n)/2}+a^{(5-n)/2}+\ldots+a^{(n-3)/2}+a^{(n-1)/2}.\] Ahora bien, el producto de todos los sumandos del miembro de la derecha es igual a $1$ (¿por qué?), luego la desigualdad es consecuencia de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica. Notemos que no se puede dar la igualdad ya que, en tal caso, todos estos sumando habrían de ser iguales, con lo que $a=1$, pero el enunciado descarta este caso.