Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que $k\geq n$ y $k-n$ es par. Se tienen $2n$ lámparas numeradas $1, 2,\ldots, 2n$, cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Se consideran sucesiones de pasos: en cada paso se selecciona exactamente una lámpara y se cambia su estado (si está apagada se enciende, si está encendida se apaga).

Sea $N$ el número de sucesiones de $k$ pasos al cabo de los cuales las lámparas $1,2,\ldots,n$ quedan todas encendidas y las lámparas $n+1,n+2,\ldots,2n$ quedan todas apagadas. Sea $M$ el número de sucesiones de $k$ pasos al cabo de los cuales las lámparas $1,2,\ldots,n$ quedan todas encendidas, y las lámparas $n+1,n+2,\ldots,2n$ quedan todas apagadas sin haber sido nunca encendidas.

Calcular la razón $N/M$.