Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si llamamos $r$ y $s$ a las raíces de $x^2+ax+bc$ y llamamos $r$ y $t$ a las de $x^2+bx+ac$, obtenemos que $rs=bc$ y $rt=ac$. Dividiendo una ecuación entre la otra y como los números $a,b,c,r,s,t$ son todos no nulos (¿por qué?), llegamos a que $as-bt=0$. Por otro lado, tenemos que $r+s=-a$ y $r+t=-b$. Restando estas dos ecuaciones obtenemos que $s-t=b-a$. El sistema de ecuaciones lineales \[\left.\begin{array}{c} as-bt=0\\ s-t=b-a \end{array}\right\}\] con incógnitas $s$ y $t$ tiene una única solución ya que $a\neq b$ y ésta es $s=b$ y $t=a$, de donde $r=c$ y $a+b+c=a+(r+s)=a-a=0$. Por tanto, \[(x-s)(x-t)=x^2-(s+t)x+st=x^2+cx+ab,\] y hemos resuelto el problema.