Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\mathbb{Q}_{\gt 0}$ el conjunto de los números racionales mayores que cero. Sea $f:\mathbb{Q}_{\gt 0}\to\mathbb{R}$ una función que satisface las tres siguientes condiciones:

• $f(x)f(y)\geq f(xy)$ para todo $x,y\in\mathbb{Q}_{\gt 0}$;
• $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ para todo $x,y\in\mathbb{Q}_{\gt 0}$;
• existe un número racional $a\gt1$ tal que $f(a)=a$.

Demostrar que $f(x) = x$ para todo $x\in\mathbb{Q}_{\gt 0}$.