Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Decimos que un conjunto finito $\mathcal S$ de puntos del plano es equilibrado si para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ de $\mathcal{S}$ hay un punto $C$ en $\mathcal{S}$ tal que $AC=BC$. Decimos que $\mathcal{S}$ es libre de centros si para cada tres puntos distintos $A,B,C$ de $\mathcal{S}$ no existe ningún punto $P$ en $\mathcal{S}$ tal que $PA=PB=PC$.

1. Demostrar que para todo $n\geq 3$ existe un conjunto equilibrado de $n$ puntos.
2. Determinar todos los enteros $n\geq 3$ para los que existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado y libre de centros.