Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Escribiéndolo de otra manera, queremos encontrar todos los $n\in\mathbb{N}$ tales que $2^n\equiv 1\ (\mbox{mód } 7)$. Ahora bien, como $2^3=8\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 7)$, tenemos que:

• Si $n=3k$, entonces $2^{3k}=(2^3)^k\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 7)$.
• Si $n=3k+1$, entonces $2^n=2\cdot (2^3)^k\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 7)$.
• Si $n=3k+2$, entonces $2^n=4\cdot(2^3)^k\equiv 4\ (\mathrm{mod}\ 7)$.

Por tanto, los únicos valores de $n$ para los que $2^n-1$ es múltiplo de $7$ son los múltiplos de 3. Sin embargo, no hay valores de $n$ para los que $2^n+1$ sea múltiplo de $7$ ya que esto muestra que $2^n+1$ es congruente con $2$, $3$ o $5$ módulo $7$.