Olimpiadas de Matemáticas
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Encontrar el menor entero positivo $k$ para el cual existe una coloración del conjunto $\mathbb{Z}_{\gt 0}$ de los enteros positivos con $k$ colores y una función $f:\mathbb{Z}_{\gt 0}\to\mathbb{Z}_{\gt 0}$ que cumpla las siguientes dos propiedades:

• Para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$ del mismo color, $f(m+n)= f(m)+f(n)$.
• Existen enteros positivos $m$ y $n$ tales que $f(m+n)\neq f(m)+f(n)$.

Nota. En una coloración de $\mathbb{Z}_{\gt 0}$ con $k$ colores, cada entero se colorea con exactamente uno de los $k$ colores. En las propiedades anteriores, los enteros positivos $m$ y $n$ no son necesariamente diferentes.