Problemas de Matemáticas

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Problema 2031

Consideremos el conjunto \[A =\left\{1+\tfrac{1}{k}|k=1,2,3,\ldots\right\}.\]

Demostrar que todo entero $x\geq 2$ puede ser escrito como el producto de uno o más elementos de $A$, no necesariamente distintos.
Para todo entero $x\geq 2$, sea $f(x)$ el menor entero tal que $x$ puede ser escrito como el producto de $f(x)$ elementos de A, no necesariamente distintos. Demostrar que existen infinitos pares $(x,y)$ de enteros con $x\geq 2$ e $y\geq 2$, tales que \[f(xy)\lt f(x) + f(y).\]

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