Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un dominó es una ficha de $1\times 2$ o de $2\times 1$ cuadrados unitarios. Sea $n\geq 3$ un entero. Se ponen dominós en un tablero de $n\times n$ casillas de tal manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero sin superponerse. El valor de una fila o columna es el número de dominós que cubren al menos una casilla de esta fila o columna. Una configuración de dominós se dice que está balanceada si existe algún entero $k\geq 1$ tal que cada fila y cada columna tiene valor $k$.

Demostrar que existe una configuración balanceada para cada $n\geq 3$ y hallar el mínimo número de dominós necesarios para una tal configuración.