Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 2040
EGMO, 2019-P5
Sea $n\geq 2$ un número entero y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ enteros positivos. Demostrar que existen enteros positivos $b_1, b_2,\ldots,b_n$ que cumplen las siguientes tres condiciones:
- $a_i\leq b_i$ para todo $1\leq i\leq n$,
- los restos de $b_1, b_2,\ldots, b_n$ al dividirlos por $n$ son todos diferentes y
- $\displaystyle b_1+b_2+\ldots+b_n\leq \left(\frac{n-1}{2}+\left\lfloor\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\right\rfloor\right)$.
Nota. Denotamos por $\lfloor x\rfloor$ a la parte entera del número real $x$, es decir, al mayor entero que es menor o igual que $x$.
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