Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Alina traza $2019$ cuerdas en una circunferencia. Los puntos extremos de estas son todos diferentes. Un punto se considera marcado si es de uno de los siguientes tipos:

• uno de los 4038 puntos extremos de las cuerdas,
• un punto de intersección de al menos dos de las cuerdas.

Alina etiqueta con un número cada punto marcado. De los $4038$ puntos del primer tipo, $2019$ son etiquetados con un $0$ y los otros $2019$ puntos con un $1$. Los puntos del segundo tipo se etiquetan con un entero arbitrario, no necesariamente positivo.

En cada cuerda, Alina considera todos los segmentos entre puntos marcados consecutivos (si una cuerda tiene $k$ puntos marcados, entonces tiene $k-1$ de estos segmentos). Sobre cada uno de estos segmentos, Alina escribe dos números: en amarillo escribe la suma de las etiquetas de los puntos extremos del segmento, mientras que en azul escribe el valor absoluto de su diferencia.

Alina se da cuenta que los $N+1$ números amarillos son exactamente los números $0,1,\ldots, N$. Demostrar que al menos uno de los números azules es múltiplo de tres.