Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 205
OIM, 1997-P6
Sea $A=\{P_1,P_2,\ldots,P_{1997}\}$ un conjunto de $1997$ puntos en el interior de un círculo de radio $1$, siendo $P_1$ el centro del círculo. Para cada $k\in\{2,3,\ldots,1997\}$, sea $x_k$ la distancia de $P_k$ al punto de $A$ más próximo a $P_k$ y distinto de $P_k$. Demostrar que
\[x_1^2+x_3^2+\ldots+x_{1997}^2\leq 9.\]
pistasolución 1info
Pista. El hecho de que aparezcan los cuadrados de las distancias suena a áreas.
Solución. Dado $k\geq 1$, consideremos el círculo de centro $P_k$ y radio $\frac{x_k}{2}$. La intersección de dos cualesquiera de estos círculos es vacía ya que $x_k$ se define como la distancia de $P_k$ al punto más cercano y hemos tomado círculos de radio menor que la mitad. Además, todos los círculos construidos están contenidos en el círculo de centro $P_1$ y radio $\frac{3}{2}$ ya que $x_k$ es menor o igual que la distancia de $P_k$ a $P_1$ que es igual a uno, luego $\frac{x_k}{2}\leq\frac{1}{2}$.
De todo esto deducimos, que la suma de las áreas de los $1996$ círculos es menor o igual que el área del círculo de radio $\frac{3}{2}$. Así, obtenemos que \[\frac{\pi}{4}x_1^2+\frac{\pi}{4}x_2^2+\ldots+\frac{\pi}{4}x_{1997}^2\leq\frac{9\pi}{4}.\] Simplificando obtenemos la desigualdad del enunciado.
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