Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Para probar la desigualdad de la izquierda observemos que si uno de los tres números es cero, entonces ésta es trivial. En caso contrario, sumando $2xyz$ a ambos miembros y dividiendo por $xyz$, la desigualdad es equivalente a \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2.\] Ahora bien, la desigualdad entre las medias aritmética y armónica nos dice que \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=9\gt 2,\] con lo que la desigualdad está probada.

Para la desigualdad de la derecha, hacemos el siguiente desarrollo: \begin{align*} (1-2x)(1-2y)(1-2z)&=1-2(x+y+z)+4(xy+yz+xz)-8xyz\\ &=-1+4(xy+yz+xz)-8xyz, \end{align*} Despejando y usando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, llegamos a que \begin{align*} xy+yz+xz-2xyz&=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}(1-2x)(1-2y)(1-2z)\\ &\leq\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{3-2(x+y+z)}{3}\right)^3=\frac{7}{27}. \end{align*} No obstante, lo anterior tiene un error: para aplicar la desigualdad entre las medias es necesario que los términos $(1-2x)$, $(1-2y)$ y $(1-2z)$ sean no negativos. Por tanto, veamos qué pasa si alguno de los números $x,y,z$ es mayor que $\frac{1}{2}$. Como $x+y+z=1$, a lo sumo uno de los tres es mayor que $\frac{1}{2}$, en cuyo caso $(1-2x)(1-2y)(1-2z)\leq 0$ mientras que $3-2(x+y+z)=1\geq 0$, lo que nos dice que desigualdad de arriba también es cierta cuando uno de los tres números es mayor que $\frac{1}{2}$. Esto termina la demostración.