Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Coloreamos los vértices del cubo de blanco y negro de forma que dos vértices adyacentes tengan colores distintos. Esto hace que los vértices diagonalmente opuestos de una misma cara tengan el mismo color y que haya 4 vértices blancos y 4 vértices negros. Ahora bien, una mosca puede ir desde cualquier vértice blanco a cualquier otro vértice blanco cada vez que toca el silbato, por lo que las moscas situadas en los vértices blancos tendrán tantos movimientos posibles como las permutaciones de cuatro elementos que no dejan ningún elemento fijo. Llamamos 1,2,3,4 a los vértices blancos. Si el vértice 1 va al vértice 2, entonces hay tres posibilidades para el vértice 2:

• Si el 2 vuelve al 1, entonces el 3 debe ir al 4 y el 4 al 3 para no dejar ningún vértice fijo y que no acaben dos moscas en el mismo vértice.
• Si el 2 va al 3, entonces el 3 debe ir al 4 (si fuera volviera al 1, entonces el 4 se quedaría fijo), luego el 4 debe volver al 1.
• Si el 2 va al 4, entonces el 4 debe ir al 3 y el 3 volver al 1 por el mismo razonamiento que en el punto anterior.

Por tanto, hay 3 posibilidades si el vértice 1 va al vértice 2. De la misma forma, hay 3 posibilidades si el 1 va al 3 y 3 posibilidades si el 1 va al 4, lo que nos da un total de 9 permutaciones de los vértices blancos. Como a los negros les pasa lo mismo, tendremos un total de $9\cdot 9=81$ formas en que pueden volar las moscas.

Nota. En el lenguaje de permutaciones, estamos diciendo que de las 24 permutaciones de 4 elementos, hay 3 productos de dos transposiciones y 6 ciclos de longitud 4, que son las 9 que no fijan ningún elemento.