Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. En primer lugar, expresamos \[P(x,y)=2x^2-6xy+5y^2=(x-2y)^2+(x-y)^2.\] De aquí deducimos que todos los valores de $P$ son suma de dos cuadrados. No obstante, cualquier suma de dos cuadrados $u^2+v^2$ es un valor de $P$, sin más que tomar $x=-u+2v$ e $y=-u+v$ en la expresión de arriaba. Esto nos dice que los valores de $P$ son exactamente los números enteros que se expresan como suma de dos cuadrados.

Por inspección directa, los números menores o iguales que 100 que son suma de dos cuadrados son: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100. Estos hacen un total de 43 valores de $P$ entre 1 y 100, lo que responde al apartado (a).

Para responder al apartado (b), veamos ahora que el producto de dos números que se expresan como suma de dos cuadrados vuelve a ser suma de dos cuadrados, pero esto es consecuencia de la siguiente identidad, válida para cualesquiera números $a$, $b$, $c$ y $d$ no necesariamente enteros: \[(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2.\]