Olimpiadas de Matemáticas
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Supongamos ahora que la igualdad es cierta para $n$ y veamos qué pasa para una suma de $n+1$ términos. Dicha suma será par cuando la suma de los $n$ primeros productos y el último producto sean ambos pares o ambos impares. Como el último producto tiene tres formas de ser par ($0\cdot 0=0\cdot1=1\cdot 0=0$) y una de ser impar $1\cdot 1=1$, llegamos a que \[P(n+1)=I(n)+3P(n).\] Análogamente, la suma de los $n+1$ productos será impar cuando la suma de los $n$ primeros y el útlimo tengan distinta paridad, lo que nos lleva en este caso a la identidad \[I(n+1)=3I(n)+P(n).\] Dividiendo ambas igualdades y usando la hipótesis de inducción tenemos que \[\frac{P(n+1)}{I(n+1)}=\frac{I(n)+3P(n)}{3I(n)+P(n)}=\frac{1+3\frac{P(n)}{I(n)}}{3+\frac{P(n)}{I(n)}}=\frac{1+3\frac{2^n+1}{2^n-1}}{3+\frac{2^n+1}{2^n-1}}=\frac{2^{n+1}+1}{2^{n+1}-1},\] que es la fórmula que se pretendía demostrar para $n+1$.

Nota. De hecho, a partir de aquí se puede calcular fácilmente el valor exacto de $P(n)$ e $I(n)$, dado que se sabe que $P(n)+I(n)=2^{2n}$, el número total de $2n$-uplas de ceros y unos. Concretamente se llega a que \begin{array*} P(n)&=2^{2n-1}+2^{n-1},\\ I(n)&=2^{2n-1}-2^{n-1}. \end{array*}