Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Podemos suponer que $a\gt b$ y quitar el valor absoluto. Razonando por reducción al absurdo, supongamos que $a-b\lt\sqrt{4n-3}$, de donde deducimos que \[(a+b)^2=(a-b)^2+4ab\lt 4n-3+4(1+n^2)=(2n+1)^2.\] Ya que todos estos números son positivos, deducimos que $a+b\lt 2n+1$, esto es, $a+b\leq 2n$. Usando entonces la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica deducimos que \[1+n^2=ab\lt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{4n^2}{4}=n^2,\] lo cual es una contradicción.

Supongamos ahora que se da la igualdad, con lo que tenemos dos igualdades para trabajar: $ab=1+n^2$ y $(a-b)^2=4n-3$. Entonces, $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=(2n+1)^2$, luego $a+b=2n+1$. Por otro lado, tenemos que $4n-3$ tiene que ser un cuadrado impar, pongamos $(2m+1)^2$ para cierto entero $m$, de donde $n=m^2+m+1$. Finalmente, de las ecuaciones $a+b=2n+1$ y $a-b=\sqrt{4n-3}$, despejamos $a$ y $b$ en función de $m$. Tenemos así que \begin{align*} n&=m^2+m+1,\\ a&=m^2+2m+2,\\ b&=m^2+1, \end{align*} para cierto entero $m\geq 0$. Como estas soluciones cumplen la igualdad para todo $m$, deducimos que son las únicas.