Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un torneo hay 20 equipos de forma que cada pareja se enfrenta en un único partido en el que gana uno de ellos (no hay posible empate). Hay un total de $k$ equipos europeos y se da un premio especial para el mejor equipo europeo que se calcula en base a los $\frac{1}{2}k(k-1)$ partidos que estos equipos juegan entre sí. Al finalizar el torneo, resulta que el equipo que ha ganado el trofeo europeo se ha quedado último en la clasificación de los $20$ equipos.

1. Determinar el mayor valor de $k$ para el que esto es posible.
2. Responder a la misma pregunta si se permiten los empates y un equipo recibe $2$ puntos por victoria y $1$ punto por empate.