Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 22
En un tablero de ajedrez colocamos $24$ fichas ocupando las $3$ filas superiores. Podemos cambiar la posición de las fichas haciendo saltar una por encima de otra a un hueco libre en cualquier dirección (horizontal, vertical o diagonal). ¿Se puede conseguir así llevar las $24$ fichas a las tres filas inferiores?
pistasolución 1info
Pista. Responde primero a la siguiente pregunta: ¿puede una ficha concreta pasar de una fila a la siguiente después de haber efectuado una cierta cantidad de movimientos? ¿En qué filas puede acabar dicha ficha?
Solución. Numeramos las filas del $1$ al $8$ de abajo arriba. Es evidente que al hacer saltar una una ficha por encima de otra, si al principio estaba en una fila par, saltará a una fila par y, si al principio estaba en una impar, saltará a una impar. Por lo tanto, en cada movimiento, se conserva el número de fichas en casillas en filas pares y el número de fichas en filas impares. Al comienzo tenemos que hay 16 fichas en filas pares y 8 en filas impares y queremos llegar a una situación en la que hay 8 en filas pares y 16 en impares. Por tanto, es imposible conseguirlo.
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