Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un tablero $99\times 99$, se tiene un conjunto de casillas $S$ y en cada una de ellas hay un escarabajo. En un instante dado, todos los escarabajos salen volando y aterrizan en casillas de $S$ de acuerdo a las siguientes reglas:

• Cada escarabajo puede aterrizar en una nueva casilla o caer en la que estaba.
• Más de un escarabajo puede aterrizar en la misma casilla.
• Si dos escarabajos estaban en la misma casilla o en casillas que comparten algún vértice, después aterrizan en la misma casilla o en casillas que comparten un vértice.

Determinar si hay necesariamente un escarabajo que aterrice en la misma casilla que estaba o en una casilla que comparta algún vértice con ella en cada uno de los siguientes supuestos:

1. $S$ es el conjunto formado por las casillas de la fila y columna centrales.
2. $S$ es el conjunto formado por las casillas de la fila y columna centralres junto con las casillas del borde del tablero.
3. $S$ es todo el tablero.