Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos un polígono regular de $n$ lados cuyos vértices están etiquetados con $+1$ o $-1$. Un movimiento consiste en cambiar el signo de los vértices que forman un polígono regular de $k$ lados para $2\leq k\leq n$ (entendiendo por polígono regular de $2$ lados a dos vértices diametralmente opuestos del polígono original).

1. Demostrar que para cualquier $n\gt 2$ podemos etiquetar los vértices de forma que no se puede pasar a que todos sean $+1$ mediante una serie de movimientos.
2. Si $f(n)$ es el mayor número de etiquetados iniciales que podemos encontrar para los que ninguno de ellos se puede obtener de ningún otro mediante una serie de movimientos, demostrar que $f(200)=2^{80}$.