Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 2214
ASU, 1976-P15
Sean $S$ una esfera de radio $1$ y $P$ un plano que pasa por su centro. Para cualquier punto $x$ de la esfera, denotamos por $f(x)$ a la distancia desde $x$ a $P$.
- Demostrar que si $x,y,z$ son los extremos de tres radios de $S$ mutuamente perpendiculares, entonces $f(x)^2+f(y)^2+f(z)^2=1$.
- Sea $g:S\to\mathbb{R}$ una función que toma valores mayores o iguales que $0$ y cumple que $g(x)^2+g(y)^2+g(z)^2=1$ para cualesquiera extremos de radios de $S$ mutuamente perpendiculares. Si $g(x)=1$ siempre que $f(x)=1$, demostrar que $g(x)=f(x)$ para todo $x\in S$.
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