Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Vamos a probar que la respuesta es afirmativa. Para ello, observamos que el problema es equivalente a determinar si existen $n,a\in\mathbb{N_0}$ tales que $3n^2+2n+2=a^2$. Trabajando módulo 8, todo cuadrado perfecto es congruente con $0$, con $1$ ó con $4$, para lo que será suficiente comprobar que $3n^2+2n+2$ no es congruente con ninguno de estos tres números módulo $8$. Usando las propiedades de las congruencias, tenemos que

• Si $n\equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 7\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 3\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 3\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 4\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 5\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 7\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 6\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 7\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 3\ (\mathrm{mod}\ 8)$.

Por tanto, $3n^2+2n+2$ no es congruente con $0$, $1$ ó $4$ para ningún valor de $n\in\mathbb{Z}$ y hemos terminado.