Problemas de Matemáticas

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Problema 2231

Un polinomio se dice que es mónico si su coeficiente líder es $1$ y dos polinomios $p(x)$ y $q(x)$ se dice que conmutan si $p(q(x))=q(p(x))$.

Encontrar todos los polinomios mónicos de grado $3$ que conmutan con $x^2-k$.
Dado un polinomio mónico $p(x)$ y un entero positivo $n$, demostrar que hay a lo sumo un polinomio mónico de grado $n$ que conmuta con $p(x)^2$.
Encontar los polinomios del apartado (b) para $n=4$ y $n=8$.
Si $q(x)$ y $r(x)$ son polinomios mónicos y ambos conmutan con $p(x)^2$, demostrar que $q(x)$ y $r(x)$ conmutan a su vez.
Demostrar que hay una sucesión de polinomios $p_2(x),p_3(x),\ldots$ tales que $p_2(x)=x^2-2$, $p_n(x)$ tiene grado $n$ para todo $n\geq 2$ y $p_i(x)$ conmuta con $p_j(x)$ para todo $i,j\geq 2$.

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