Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un conjunto $K_0$ de puntos del espacio, se define la sucesión $K_1,K_2,\ldots$ de forma que $K_{n+1}$ contiene todos los puntos de $K_n$ junto con sus simétricos respecto de otros puntos de $K_n$.

1. Si $K_0$ está formado por dos puntos $A$ y $B$ a distancia $1$, determinar los valores de $n$ para los que $K_n$ contiene un punto a $1000$ unidades de distancia de $A$.
2. Si $K_0$ está formado por los vértices de un triángulo equilátero de lado $1$, encontrar el área del menor polígono convexo que contiene a $n$.
3. Si $K_0$ está formado por los vértices de un tetraedro regular de volumen $1$, sea $H_n$ el menor poliedro convexo que contiene a $K_n$. Determinar el volumen y el número de caras de $H_n$.