Considérense las expresiones de la forma $x+yt+zt^2$ con $x,y,z$ racionales y $t=\sqrt[3]{2}$. Si $x$, $y$ y $z$ no son simultáneamente cero, demostrar que existen $u,v,w$ racionales tales que
\[(x+yt+zt^2)(u+vt+wt^2)=1.\]
Solución. Si desarrollamos el producto $(x+yt+zt^2)(u+vt+wt^2)$ usando que $t^3=2$, llegamos el polinomio de segundo grado siguiente:
\[[xu+2zv+2yw]+[yu+xv+2zw]t+[zu+yv+xw]t^2\]
Vamos a ver que existen $u,v,w\in\mathbb{Q}$ tales que el primer corchete es igual a $1$ y los demás son cero, lo que nos daría el resultado que buscamos. Para ello, escribimos estas tres ecuaciones como
\[\left.\begin{array}{r}
xu+2zv+2yw=1\\
yu+xv+2zw=0\\
zu+yv+xw=0
\end{array}\right\}
\]
Nos encontramos así con un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $u,v,w$. Resolviendo este sistema (aquí pueden usarse los métodos de reducción o bien escribirlo matricialmente y usar la regla de Kramer, pero omitimos los detalles por ser algo estándar) llegamos a que el sistema es compatible determinado si, y sólo si, $x^3+2y^3+4z^3-6xyz\neq 0$, en cuyo caso
\[\begin{array}{r}
u=\frac{x^2-2 y z}{x^3+2 y^3+4 z^3-6 xyz}\\
v=\frac{2 z^2-x y}{x^3+2 y^3+4 z^3-6 xyz}\\
w=\frac{y^2-x z}{x^3+2 y^3+4 z^3-6 xyz}
\end{array}\]
son números racionales cumpliendo la condición del enunciado. Por tanto, falta por ver que si los racionales $x,y,z$ no son cero a la vez, entonces $x^3+2y^3+4z^3-6xyz\neq 0$ (esta última cantidad puede ser cero para ciertos números reales no nulos --por ejemplo para $x^3=2y^3=4z^3$-- luego habrá que usar fuertemente que se trata de números racionales).
Observamos que si multiplicamos los números $x$, $y$ y $z$ por un número no nulo, entonces $x^3+2y^3+4z^3-6xyz$ queda multiplicado por el cubo de ese número y es cero si, y sólo si, originalmente era cero. Por tanto, no hay pérdida de generalidad en multiplicar $x$, $y$ y $z$ por el mismo entero no nulo. Expresando $x$, $y$ y $z$ como fracción irreducible y multiplicando por el mínimo común múltiplo de los denominadores, podremos suponer sin perder generalidad que $x$, $y$ y $z$ son números enteros sin factores comunes.
Ahora bien, si ocurriera que $x^3+2y^3+4z^3-6xyz=0$, entonces $x$ es par y podemos poner $x=2a$ para cierto entero $a$. La igualdad anterior se reescribe como $4a^3+y^3+2z^3-6ayz=0$, luego $y=2b$ para cierto entero $b$, y podemos volver a reescribirla como $2a^3+4b^3+z^3-6abz=0$, de donde $z$ también es par y hemos encontrado un factor común a $x$, $y$ y $z$ en contra de lo que habíamos supuesto.
