Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Consideremos únicamente las rectas que forman la cuadrícula del tablero, que son paralelas a los lados del tablero y son las únicas que pueden no atravesar ninguna ficha. Si una de estas rectas cortara a un número impar de fichas, entonces, quitando esas fichas, a cada lado de la recta quedaría un número impar de casillas que cubrir con fichas $2\times 1$, lo cual es imposible. Esto prueba que cada una de las rectas atraviesa a un número par de fichas. Para probar (a), razonamos por reducción al absurdo suponiendo que cada uno de las 10 rectas a considerar atraviesa a alguna ficha. Como cada una de ellas atraviesa un número par de fichas y cada ficha es cortada por un sola recta, tendría que haber, al menos, 20 fichas distintas. Esto es imposible ya que sólo tenemos 18 fichas para rellenar el tablero $6\times 6$.

El mismo argumento no funciona para un tablero $8\times 8$ y es que sí que es posible rellenarlo con fichas de dominó, como se muestra en la figura. El razonamiento anterior nos da una pista ya que de las 14 rectas a considerar, podemos tomar 12 de ellas que cortan a 2 fichas cada una y las 2 restantes a 4 fichas cada una, lo que nos da las $12\cdot 2+2\cdot 4=32$ fichas.