Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Tenemos un número entero escrito en cada vértice de un cubo. En cada movimiento se puede sumar $1$ a los números que están en dos vértices adyacentes (conectados por una arista del cubo). Determinar en cada uno de los siguientes casos si se puede hacer que todos los números sean iguales mediante una sucesión finita de movimientos.

1. Todos los números iniciales son cero excepto en un vértice, donde tenemos un uno.
2. Todos los números iniciales son cero excepto en dos vértices diagonalmente opuestos en una cara del cubo, donde tenemos dos unos.
3. Los números iniciales son $1,2,3,4$ en la cara inferior del cubo (en este orden) y $6,7,4,5$ en los vértices correspondientes de la cara superior.