Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se consideran $n$ puntos $A_1,A_2,\ldots,A_n$ sobre una misma recta y en este orden, de forma que los segmentos $A_1A_2,A_2A_3,\ldots,A_{n-1}A_n$ tienen todos longitud menor que $1$. Queremos pintar de rojo $k-1$ de los puntos $A_2,\ldots,A_{n-1}$ de forma que la diferencia entre las longitudes de dos cualesquiera de los $k$ segmentos en que los puntos rojos dividen a $A_1A_n$ sea menor que $1$.

1. Demostrar que esto es posible para $k=3$.
2. Demostrar que esto es posible para todo entero $k\lt n-1$.