Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Consideremos el polinomio $p(x)=x\,q(x)-1$, que tiene grado $2024$ y cumple que $p(n)=0$ para $n=1,2,\ldots, 2024$. En particular, como conocemos sus $2024$ raíces, podremos escribir \[p(x)=x\,q(x)-1=a(x-1)(x-2)(x-3)\cdots(x-2024).\] Evaluando esta igualdad en $x=0$, llegamos a que $p(0)=-1=2024! a$, luego obtenemos que $a=\frac{-1}{2024!}$ y tenemos ya completamente determinado $p(x)$. Ahora solamente hay que evaluar en $x=2025$, obteniendo \[p(2025)=2025\,q(2025)-1=\frac{-(2025-1)(2025-2)(2025-3)\cdots(2025-2024)}{2024!}=-1.\] Despejamos fácilmente $q(2025)=0$ y hemos terminado.