Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que el triángulo $ABC$ tiene lado $n$ y que trazamos tres segmentos, uno desde cada vértice que lo une con un punto del lado opuesto, de forma que el punto sobre el lado $AB$ está a distancia $a$ de $A$, el punto sobre el lado $BC$ está a distancia $b$ de $B$ y el punto sobre el lado $CA$ está a distancia $c$ de $C$. En principio los tres segmentos se cortan en tres puntos distintos pero podrían cortarse en uno solo. Por el teorema de Ceva, esto último ocurre si y sólo si \[\frac{abc}{(n-a)(n-b)(n-c)}=1,\] lo que puede reescribirse como \[2abc=n^3-(a+b+c)n^2+(ab+bc+ca)n.\qquad (\star)\]

1. En el caso en que $n$ es un primo impar $p$, para que se cumpla $(\star)$, el producto $abc$ tiene que ser múltiplo de de $p$, luego uno de los tres números $a,b,c$ tiene que ser múltiplo de $p$. Esto es imposible ya que $1\leq a,b,c\leq n-1=p-1$, luego no hay tres segmentos que se corten en el mismo punto. Entonces, como cada uno de los $3(n-1)$ segmentos corta a $2(n-1)$ y los puntos de corte son distintos, tendremos un total de $6(n-1)^2$ puntos de intersección contados dos veces. Por lo tanto, el número que nos piden es $3(n-1)^2$ en este caso.
2. Si $n=2p^2$, con $p$ primo impar, para que se cumpla $(\star)$ el producto $abc$ es múltiplo de $p^2$. Distinguimos entonces subcasos:
   • Supongamos que ninguno de los tres números $a,b,c$ es múltiplo de $p^2$. Entonces, hay dos de ellos que son múltiplos de $p$, pongamos $a$ y $b$. El miembro de la derecha de $(\star)$ es múltiplo de $p^3$, luego el de la izquierda tiene que serlo. Por lo tanto, $c$ también es múltiplo de $p$ y ahora el miembro de la derecha es múltiplo de $p^4$, lo que nos lleva a que uno de los números $a,b,c$ sea múltiplo de $p^2$. Esto va en contra de nuestra suposición, luego no hay soluciones en este subcaso.

   • Si $a=p^2$ y $b,c\neq p^2$, entonces $n-a=p^2$ y la ecuación $(\star)$ queda tras simplificar como $b+c=2p^2$, luego tenemos $2p^2-2$ soluciones de dicha ecuación ($b$ puede ser cualquier número entre $1$ y $2p^2-1$ distinto de $p^2$). Análogamente, si $b=p^2$ y $a,c\neq p^2$ o bien $c=p^2$ y $a,b\neq p^2$, tenemos $2p^2-2$ soluciones en cada caso. Finalmente está la solución $a=b=c=p^2$, luego tenemos $6p^2-5=3n-5$ soluciones de $(\star)$ en este caso.
   Tenemos así que de los $3(n-1)^2$ puntos de corte que hay tenemos que quitar $2(3n-5)$ ya que cada una de las $3n-5$ soluciones de $(\star)$ hace que tres de los $3(n-1)^2$ puntos totales coincidan en uno solo. Tenemos entonces $3(n-1)^2-2(3n-5)=3n^2-12n+13$ puntos de corte en este caso.