Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Observamos que el mayor divisor de $n$ es menor o igual que $\frac{n}{2}$, el segundo mayor divisor será menor o igual que $\frac{n}{3}$, el tercero menor o igual que $\frac{n}{4}$ y el cuarto menor o igual que $\frac{n}{5}$. Por lo tanto, se cumple que \[1001=a+b+c+d\leq \frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\frac{n}{4}+\frac{n}{5}=\frac{77}{60}n\ \Longleftrightarrow\ n\geq 780.\] Buscamos, por tanto, un número mayor o igual que $780$. Como $780$ resulta ser divisible entre $2,3,4,5$, la desigualdad anterior se convierte en una igualdad la igualdad si tomamos \[a=\frac{780}{2}=390,\qquad b=\frac{780}{3}=260,\qquad c=\frac{780}{4}=195,\qquad d=\frac{780}{5}=156,\] lo que demuestra que $n=780$ es el número que buscamos.