Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Consideremos las circunferencias circunscritas a los triángulos $ABE$ y $AFD$, que se cortarán en $A$ y en otro punto $P$. Queremos ver que este punto $P$ pertenece a las otras dos circunferencias circunscritas, para lo que vamos a usar la propiedad del arco capaz. Llamaremos $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ a los ángulos del cuadrilátero $A,B,C,D$ por comodidad.

Como $ADPF$ es cíclico, tenemos que $\angle APD=\angle AFD=180-\alpha-\delta$ y, como $ABPE$ es cíclico, tenemos que $\angle APB=\angle AEB=180-\alpha-\beta$, luego \[\angle DPB=\angle DPA+\angle APB=(180-\alpha-\delta)+(180-\alpha-\beta)=360-2\alpha-\beta-\delta=\gamma-\alpha,\] donde hemos usado que $\alpha+\beta+\gamma+\delta=360$. Ahora bien, como $ADPF$ es cíclico, tenemos que $\angle DPF=180-\angle DAF=180-\alpha$, luego obtenemos que \[\angle BPF=\angle DPF-\angle APF=(180-\alpha)-(\gamma-\alpha)=180-\gamma=\angle BCF.\] De este modo, los dos ángulos indicados en rojo en la figura son iguales, luego $P$ está en la circunferencia circunscrita al triángulo $BFC$. Con la circunferencia $DCE$ se razona igual (sólo hay que cambiar $E$ por $F$ y $B$ y $\beta$ por $D$ y $\delta$ en el razonamiento anterior).