Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si hacemos $x=f(z)$ en la ecuación funcional, obtenemos que \[f(f(z)f(y))=f(yf(z))+f(z)\stackrel{\star}{=}f(yz)+y+f(z),\] donde en $\star$ hemos usado de nuevo la ecuación funcional. Como lo anterior es cierto para cualesquiera $y,z\gt 0$ y hay términos simétricos, intercambiando $z$ por $y$, obtenemos que \[f(yz)+y+f(z)=f(f(z)f(y))=f(zy)+z+f(y),\] de donde $y+f(z)=z+f(y)$ para todo $y,z\gt 0$. Esto nos lleva a que $f(z)=z+a$ para cierto $a\in\mathbb{R}$. Sin embargo, la única de estas funciones que cumple la ecuación original es para $a=1$ y deducimos que $f(z)=z+1$ es la única solución.