Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Escribimos la ecuación como \[a(a^2+b^2)+7=3(a^2+b^2)+2b^2\ \Leftrightarrow\ (a-3)(a^2+b^2)=2b^2-7,\] luego $a^2+b^2$ es un divisor de $2b^2-7$. Ahora la escribimos como \[a(a^2+b^2)+7=5(a^2+b^2)-2a^2\ \Leftrightarrow\ (5-a)(a^2+b^2)=2a^2+7,\] luego también es divisor de $2a^2+7$. Como todo divisor positivo de un número es menor o igual que el valor absoluto de dicho número, tenemos que \[\left\{\begin{array}{l}a^2+b^2\leq|2b^2-7|,\\a^2+b^2\leq 2a^2+7.\end{array}\right.\] Distinguimos casos para tratar con el valor absoluto:

• Si $b=0$, entonces la ecuación original queda $a^3-5a^2+7=0$, que no tiene soluciones enteras (probamos $a=\pm 1$ y $a=\pm 7$, los divisores del término independiente).
• Si $b=\pm 1$, entonces la ecuación original queda $a^3-5a^2+a+4=0$, que tampoco tiene soluciones enteras (probamos $a=\pm 1$, $a=\pm 2$ y $a=\pm 4$).
• Si $|b|\geq 2$, entonces $2b^2-7\gt 0$, luego el sistema anterior de desigualdades nos da $a^2\leq b^2-7$ y $b^2\leq a^2+7$, lo que a su vez implica que $b^2-a^2=7$. Es fácil ver que los únicos cuadrados que se diferencian en $7$ unidades son $3^2=9$ y $4^2=16$ (a partir de $16$, cada cuadrado se diferencia del siguiente en al menos $9$ unidades). Por tanto, tenemos los candidatos a solución $a=\pm 3$ y $b=\pm 4$. Sustituyendo en la ecuación original, obtenemos que solamente $(a,b)=(3,4)$ y $(a,b)=(3,-4)$ la verifican.

Hemos probado así que $(a,b)=(3,4)$ y $(a,b)=(3,-4)$ son las únicas soluciones.

Solución. En la ecuación que nos dan podemos despejar \[b^2=\frac{a^3-5a^2+7}{3-a}=f(a)\] siempre que $a\neq 3$. Para $a=3$, la ecuación queda $a^3-5a^2+7=0$, que no tiene soluciones enteras, luego podemos suponer $a\neq 3$. La función $f(a)$ tiende a $-\infty$ cuando $a\to\pm\infty$, lo que nos dice que debería haber pocos valores en los que $f(a)=b^2\gt 0$. Veamos entonces para qué enteros $a$ se cumple que $f(a)\gt 0$.

El numerador de $f(a)$ tiene grado $3$, luego la ecuación $f(a)=0$ tiene a lo sumo tres soluciones reales. Calculamos algunos valores: \[f(-2)=-\tfrac{21}{5}\lt 0,\quad f(-1)=\tfrac{1}{4}\gt 0,\quad f(1)=\tfrac{3}{2}\gt 0,\quad f(2)=-5\lt 0,\] \[f(0)=\tfrac{7}{3}\gt 0,\quad f(4)=9\gt 0,\quad f(5)=-\tfrac{7}{2}\lt 0.\] Como hemos encontrado tres cambios de signo en los puntos en que $f$ es continua (para $a\neq 3$) y no puede haber más, el teorema de Bolzano nos garantiza entonces que $f(a)\lt 0$ para $a\leq -2$ para $a=2$ y para $a\geq 5$, luego las únicas posibilidades son $a=\pm 1$, $a=0$ y $a=4$. Sin embargo, a la vista de los valores dados arriba, sólo $f(4)$ es un cuadrado perfecto. Concluimos de este modo que la ecuación original tiene únicamente las soluciones enteras $(a,b)=(4,\pm 3)$.