Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Agrupando las dos raíces que tienen suma dos, podemos factorizar el polinomio como \[9x^4-24x^3-23x^2+58x+26=9(x^2+ax+b)(x^2-2x+c)\] para ciertos números reales $a,b,c\in\mathbb{R}$. El coeficiente del término de grado $3$ del miembro de la derecha es $9(a-2)$ y tiene que coincidir con el de la derecha $-24$, luego obtenemos $a=\frac{-2}{3}$. Los coeficientes de grado $1$ y $2$ nos dan las ecuaciones $18b+6c=-58$ y $9b+9c=-35$, que tienen soluciones $b=\frac{-26}{9}$ y $c=-1$. Por lo tanto, nos queda la factorización \[9x^4-24x^3-23x^2+58x+26=(9x^2-6x-26)(x^2-2x-1).\] Igualando ambos factores a cero y resolviendo las ecuaciones cuadráticas obtenemos las cuatro raíces del polinomio original: \[x_1=\tfrac{1}{3}+\sqrt{3},\qquad x_2=\tfrac{1}{3}-\sqrt{3},\qquad x_3=1+\sqrt{2},\qquad x_4=1-\sqrt{2}.\]