Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $X,Y,Z$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita en los lados $AB,BC,CA$, respectivamente. Tenemos, por lo tanto, que $AX=AZ$, $BY=BX$ y $CZ=CY=2025$, esto último puesto que el cuadrilátero $CYIZ$ es un cuadrado, siendo $I$ el incentro. Si llamamos $x=AX$ e $y=BY$, obtenemos que $AC=AZ+ZC=2025+x$ y $BC=BY+YX=2025+y$, mientras que $AB=AX+XB=x+y$. Para que el triángulo en cuestión sea rectángulo, debe cumplirse que \[(2025+x)^2+(2025+y)^2=(x+y)^2\ \Leftrightarrow\ (x-2025)(y-2025)=2\cdot 2025^2.\] Como tiene que ser $x,y\gt 2025$ y cambiar $x$ por $y$ no cambia el triángulo, esto nos dice que habrá un triángulo por forma de factorizar $2\cdot 2025^2=2^1\cdot 3^8\cdot 5^4$ como producto de dos divisores. Este número tiene $(1+1)(8+1)(4+1)=90$ divisores, lo que nos da un total de $45$ factorizaciones ($2\cdot 2025^2$ no es cuadrado perfecto) y, por tanto, tenemos un total $45$ triángulos no congruentes con radio inscrito $2025$.