Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Comencemos con el caso en que Barbablanca elige montón primero, luego Barbablanca se lleva más monedas que Barbaverde (como $2025$ es impar, ambos no pueden llevarse el mismo número), luego la situación óptima para Barbaverde es que Barbablanca se lleve $1013$ monedas y él las otras $1012$. Esto lo puede conseguir siempre tomando $n=2$ en el paso 2 puesto que, si Barbablanca en el paso 1 divide en montones de $x$ y $2025-x$, siendo $x$ par y $2025-x$ impar, entonces Barbaverde divide el montón de $x$ en dos montones iguales de $\frac{x}{2}$ y $\frac{x}{2}$ y $2025-x$ en dos montones de $\lfloor\frac{2025-x}{2}\rfloor$ y $\lfloor\frac{2025-x}{2}\rfloor+1$.

Supongamos ahora que comienza eligiendo Barbaverde en el paso 3, que Barbablanca ha dividido en dos montones $x,y$ con $x>y$ en el paso 1 y que Barbaverde ha decidido dividir en $n$ montones en el paso 2. Ordenamos los $2n$ montones como \[v_1\geq b_1\geq v_2\geq b_2\geq\ldots\geq v_n\geq b_n,\] donde los montones $v_1,\ldots,v_n$ se los lleva Barbaverde y los montones $b_1,\ldots,b_n$ Barbablanca. Barbaverde debe intentar maximizar con su división la diferencia \begin{align*} \Delta&=(v_1+\ldots+v_n)-(b_1+\ldots+b_n)\\ &=v_1+(v_2-b_1)+(v_3-b_2)+\ldots+(v_n-b_{n-1})-b_n\leq v_1-b_n, \end{align*} donde la desigualdad viene de que cada paréntesis es menor o igual que $0$. El montón $v_1$ es el más grande de todos y tendrá como mucho $x-1$ monedas, mientras que el montón $b_n$ es el más pequeño y tendrá como poco $1$ moneda. Para conseguir estos valores óptimos, Barbaverde debe elegir $n=2$ y dividir el montón más grande en dos montones de $v_1=x-1$ y $b_2=1$, si bien el montón pequeño $y$ debe poder dividirse en dos partes iguales $b_1=v_2=\frac{y}{2}$. Por lo tanto, si el montón pequeño tiene un número impar de monedas, la igualdad no se puede alcanzar, pero en tal caso podemos obtener una unidad menos si Barbaverde divide en dos trozos con $v_2=b_1-1$. Deducimos así que Barbaverde obtiene una diferencia máxima $\Delta=x-2$ si $x$ es impar y $\Delta=x-3$ si $x$ es par. Barbablanca, sabiendo la codicia de Barbaverde, debe elegir $x$ para minimizar esta cantidad, pero como $x\geq 2013$ ($x$ es el más grande de los dos montones), esto nos lleva a que su elección óptima es tanto $x=1013$ (caso impar) como $x=1014$ (caso par) y que en ambos casos consigue $\Delta=1011$, la cual nos lleva a que Barbablanca obtiene $507$ monedas y Barbaverde $1518$.