Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Consideremos la sucesión $a_n=\frac{2025}{n}$, que es claramente decreciente. Veamos la diferencia entre dos términos consecutivos: \begin{align*} a_n-a_{n+1}=\frac{2025}{n}-\frac{2025}{n+1}=\frac{2025}{n(n+1)}. \end{align*} Como $2025=45^2$ y $n(n+1)$ es creciente, se tiene que $n(n+1)\lt 45^2$ para $n\leq 44$ y $n(n+1)\gt 2025$ para $n\geq 45$. Esto nos lleva a que $a_n-a_{n+1}\gt 1$ para $n\leq 44$ y $a_n-a_{n+1}\lt 1$ para $n\geq 45$. Esto nos lleva a las siguientes conclusiones:

• Cualesquiera dos números consecutivos en $a_1,a_2,\ldots,a_{45}$ se diferencian en más de una unidad, luego todos ellos tienen parte entera distinta.
• Cualesquiera dos números consecutivos en $a_{45},a_{46},\ldots,a_{2025}$ se diferencian en menos de una unidad, luego sus partes enteras no pueden saltarse ningún entero entre $a_{45}=45$ y $a_{2025}=1$.

De esta forma, tenemos $45$ partes enteras distintas en $a_1,a_2,\ldots,a_{45}$ y otras $45$ en $a_{45},a_{46},\ldots,a_{2025}$. La única en común es $\lfloor a_{45}\rfloor=45$, luego la respuesta es $89$.