Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En primer lugar, si tenemos $79$ enteros positivos consecutivos, entre los primeros $40$ de ellos tiene que haber uno, llamémosle $a$, cuyas dos últimas cifras sean $00$, $10$, $20$, $30$, $40$, $50$ o $60$. Sea $S$ la suma de las cifras de $a$. Como los números $a,a+1,\ldots,a+39$ están en el conjunto inicial de números y difieren de $a$ sólo en las unidades y las decenas, las sumas de las cifras de estos cuarenta números nos dan todos los enteros entre $S$ y $S+12$, luego alguna de dichas sumas será múltiplo de $13$.

Ahora veamos que con $78$ enteros positivos consecutivos se puede conseguir que ninguna suma sea múltiplo de $13$. El mismo razonamiento anterior nos dice que para ello debemos tomar los números del $100m+61$ al $100(m+1)+38$ (si no, habría cuarenta consecutivos en la misma centena, el primero de ellos con último dígito cero). Además, debe cumplirse que $100m+61$ y $100(m+1)$ tengan ambos suma de dígitos de la forma $13k+1$ (ya que el resto de números se obtienen de ellos sumándoles del $1$ al $38$ y permanencen en su misma centena). Por tanto, la suma de los dígitos de $m$ debe ser de la forma $13k+7$ y la suma de los dígitos de $m+1$ de la forma $13k+1$. La forma más sencilla de que de que ocurra esto es que $m$ esté formado por sólo por nueves. La menor cantidad de nueves que hay que sumar para obtener un número de la forma $13k+7$ son ocho (observamos que $9\cdot 8=72=13\cdot 5+7$, luego nos vale con $m=99999999$. De esta forma, si tomamos los $78$ números comprendidos entre $9999999961$ y $10000000038$, ninguno de ellos tiene suma de dígitos múltiplo de $13$.

Finalmente, observemos que si se tratara de enteros negativos consecutivos, el resultado sería el mismo ya que la suma de los dígitos de $n$ es la misma que la de $-n$. No podemos elegir simultáneamente algunos de los enteros positivos y otros negativos ya que tendríamos que incluir al cero (cuya suma de dígitos es $0=0\cdot 13$ y por tanto múltiplo de $13$).