Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dada una poligonal cerrada $M$ con un número impar de vértices $A_1,A_2,\ldots,A_{2n+1}$ (en este orden), denotaremos por $S(M)$ a la poligonal cerrada cuyos vértices $B_1,B_2,\ldots,B_{2n+1}$ (en este orden) son los puntos medios de los lados de $M$, es decir, $B_1$ es el punto medio de $A_1A_2$, $B_2$ el punto medio de $A_2A_3$ y así sucesivamente hasta $B_{2n+1}$, que es el punto medio de $A_{2n+1}A_1$. Demostrar que en la sucesión \[S(M),S(S(M)),S(S(S(M))),\ldots\] aparece una poligonal que es homotética a la poligonal original $M$.