Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ una sucesión de ceros y unos. Sea $T$ el número de ternas $(a_i,a_j,a_k)$ con $i\lt j\lt k$ que no son iguales a $(0,1,0)$ ni $(1,0,1)$. Para cada $1\leq i\leq n$, denotaremos por $f(i)$ al número de índices $1\leq j\lt i$ tales que $a_j=a_i$ más el número de índices $j\gt i$ tales que $a_j\neq a_i$. Demostrar que \[T=\sum_{i=1}^n\frac{f(i)(f(i)-1)}{2}.\] Si $n$ es impar, ¿cuál es el menor valor posible de $T$?