Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $P(z)=z^n+c_1z^{n-1}+c_2z^{n-2}+\ldots+c_n$ un polinomio con coeficientes reales $c_k$ y con variable compleja $z$. Supongamos que $|P(i)|\lt 1$. Demostrar que existen números reales $a$ y $b$ tales que $P(a+bi)=0$ y $(a^2+b^2+1)^2\lt 4b^2+1$.